← → chuyển slide | F = fullscreen
🐟 LỚP TOÁN CÁ CHÉP — ÔN TẬP GIỮA KỲ II 🐟
CHƯƠNG V
THỐNG KÊ & XÁC SUẤT
TỈ LỆ TRONG ĐỀ THI: 20% (2 ĐIỂM)
4
CHỦ ĐỀ
9
BÀI TẬP
4
MỨC ĐỘ
📚 PHẦN 1
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
LÝ THUYẾT 1
KHÁI NIỆM
Biến cố hợp, giao, xung khắc và biến cố đối
🐟 Biến cố hợp \(A \cup B\)
Biến cố "A hoặc B xảy ra" — xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố xảy ra.
🐠 Biến cố giao \(A \cap B\)
Biến cố "A và B cùng xảy ra" — xảy ra khi cả hai đều xảy ra.
🐡 Biến cố xung khắc
A và B xung khắc nếu không đồng thời xảy ra: \(A \cap B = \emptyset\)
🦈 Biến cố đối \(\overline{A}\)
\(\overline{A}\) là biến cố "A không xảy ra".
\(A \cup \overline{A} = \Omega\) (chắc chắn) \(A \cap \overline{A} = \emptyset\)
\(A \cup \overline{A} = \Omega\) (chắc chắn) \(A \cap \overline{A} = \emptyset\)
LÝ THUYẾT 2
QUY TẮC
Biến cố độc lập và các quy tắc tính xác suất
🔗 Biến cố độc lập
A và B độc lập nếu việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia.
Điều kiện tương đương: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
Điều kiện tương đương: \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
📐 Quy tắc cộng (tổng quát)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
📐 Quy tắc cộng (xung khắc)
\(A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
📐 Quy tắc nhân (độc lập)
A, B độc lập \(\Rightarrow P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\)
📐 Xác suất biến cố đối
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
CÔNG THỨC
GHI NHỚ
📋 Bảng tổng hợp công thức quan trọng
| Công thức | Điều kiện |
|---|---|
| \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) | A, B bất kỳ |
| \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) | A, B xung khắc |
| \(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\) | A, B độc lập |
| \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) | Luôn đúng |
| \(P(\Omega) = 1\) | Biến cố chắc chắn |
| \(P(\emptyset) = 0\) | Biến cố không thể |
| \(0 \le P(A) \le 1\) | Luôn đúng |
✏️ PHẦN 2
BÀI TẬP MẪU
THEO MỨC ĐỘ
BÀI 1
NHẬN BIẾT
Cho hai biến cố A và B xung khắc với \(P(A) = 0{,}3\) và \(P(B) = 0{,}5\). Tính \(P(A \cup B)\).
Lời giải:
Vì A và B xung khắc nên:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8\)
→ Đáp số: \(P(A \cup B) = 0{,}8\)
Vì A và B xung khắc nên:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}3 + 0{,}5 = 0{,}8\)
→ Đáp số: \(P(A \cup B) = 0{,}8\)
BÀI 2
NHẬN BIẾT
Cho biến cố A có \(P(A) = 0{,}7\). Tính xác suất biến cố đối của A.
Lời giải:
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\)
→ Đáp số: \(P(\overline{A}) = 0{,}3\)
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\)
→ Đáp số: \(P(\overline{A}) = 0{,}3\)
BÀI 3
NHẬN BIẾT
Hai biến cố A và B độc lập. Biết \(P(A) = 0{,}4\) và \(P(B) = 0{,}6\). Tính \(P(A \cap B)\).
Lời giải:
Vì A và B độc lập nên:
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24\)
→ Đáp số: \(P(A \cap B) = 0{,}24\)
Vì A và B độc lập nên:
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24\)
→ Đáp số: \(P(A \cap B) = 0{,}24\)
BÀI 4
THÔNG HIỂU
Gieo một con xúc xắc cân đối hai lần. Gọi A là biến cố "lần 1 xuất hiện mặt chẵn", B là biến cố "lần 2 xuất hiện mặt lớn hơn 4".
a) A và B có độc lập không? b) Tính \(P(A \cap B)\). c) Tính \(P(A \cup B)\).
a) A và B có độc lập không? b) Tính \(P(A \cap B)\). c) Tính \(P(A \cup B)\).
a) Hai lần gieo xúc xắc là hai phép thử độc lập → A và B độc lập.
b) \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) (chẵn: 2, 4, 6) \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) (>4: 5, 6)
\(P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)
c) \(P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\)
→ Đáp số: a) Độc lập b) \(\frac{1}{6}\) c) \(\frac{2}{3}\)
b) \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) (chẵn: 2, 4, 6) \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\) (>4: 5, 6)
\(P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}\)
c) \(P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{2}{3}\)
→ Đáp số: a) Độc lập b) \(\frac{1}{6}\) c) \(\frac{2}{3}\)
BÀI 5
THÔNG HIỂU
Một hộp chứa 5 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 1 bi, ghi lại màu rồi bỏ lại. Sau đó lấy tiếp 1 bi. Gọi A là biến cố "lần 1 lấy bi xanh", B là biến cố "lần 2 lấy bi đỏ". Tính \(P(A \cap B)\).
Lời giải:
Vì lấy có hoàn lại → hai lần lấy độc lập.
\(P(A) = \frac{5}{8}\) \(P(B) = \frac{3}{8}\)
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{15}{64}\)
→ Đáp số: \(P(A \cap B) = \frac{15}{64}\)
Vì lấy có hoàn lại → hai lần lấy độc lập.
\(P(A) = \frac{5}{8}\) \(P(B) = \frac{3}{8}\)
\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{8} = \frac{15}{64}\)
→ Đáp số: \(P(A \cap B) = \frac{15}{64}\)
BÀI 6
VẬN DỤNG
Xác suất bắn trúng mục tiêu của hai xạ thủ A và B lần lượt là 0,8 và 0,7. Hai người cùng bắn (độc lập). Tính xác suất:
a) Cả hai đều bắn trúng. b) Ít nhất một người bắn trúng. c) Đúng một người bắn trúng.
a) Cả hai đều bắn trúng. b) Ít nhất một người bắn trúng. c) Đúng một người bắn trúng.
a) Cả hai trúng: \(P = 0{,}8 \times 0{,}7 = 0{,}56\)
b) Ít nhất 1 trúng = 1 − P(cả hai trượt)
\(P = 1 - 0{,}2 \times 0{,}3 = 1 - 0{,}06 = 0{,}94\)
c) Đúng 1 trúng:
\(P = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = 0{,}8 \times 0{,}3 + 0{,}2 \times 0{,}7 = 0{,}24 + 0{,}14 = 0{,}38\)
→ Đáp số: a) 0,56 b) 0,94 c) 0,38
b) Ít nhất 1 trúng = 1 − P(cả hai trượt)
\(P = 1 - 0{,}2 \times 0{,}3 = 1 - 0{,}06 = 0{,}94\)
c) Đúng 1 trúng:
\(P = P(A \cap \overline{B}) + P(\overline{A} \cap B) = 0{,}8 \times 0{,}3 + 0{,}2 \times 0{,}7 = 0{,}24 + 0{,}14 = 0{,}38\)
→ Đáp số: a) 0,56 b) 0,94 c) 0,38
BÀI 7
VẬN DỤNG
Một máy sản xuất sản phẩm có xác suất tạo ra sản phẩm lỗi là 0,05. Lấy ngẫu nhiên 3 sản phẩm (độc lập). Tính xác suất:
a) Cả 3 sản phẩm đều tốt. b) Có ít nhất 1 sản phẩm lỗi.
a) Cả 3 sản phẩm đều tốt. b) Có ít nhất 1 sản phẩm lỗi.
Lời giải: P(tốt) = 1 − 0,05 = 0,95. Các sản phẩm độc lập.
a) Cả 3 đều tốt:
\(P = (0{,}95)^3 = 0{,}857375 \approx 0{,}8574\)
b) Ít nhất 1 lỗi (biến cố đối):
\(P = 1 - 0{,}857375 = 0{,}142625 \approx 0{,}1426\)
→ Đáp số: a) ≈ 0,8574 b) ≈ 0,1426
a) Cả 3 đều tốt:
\(P = (0{,}95)^3 = 0{,}857375 \approx 0{,}8574\)
b) Ít nhất 1 lỗi (biến cố đối):
\(P = 1 - 0{,}857375 = 0{,}142625 \approx 0{,}1426\)
→ Đáp số: a) ≈ 0,8574 b) ≈ 0,1426
BÀI 8
VẬN DỤNG CAO
Một hệ thống gồm 4 thiết bị hoạt động độc lập. Xác suất hoạt động tốt lần lượt là 0,9; 0,85; 0,8; 0,95. Tính xác suất:
a) Cả 4 đều tốt. b) Ít nhất 1 hỏng. c) Đúng 1 hỏng.
a) Cả 4 đều tốt. b) Ít nhất 1 hỏng. c) Đúng 1 hỏng.
a) Cả 4 tốt: \(P = 0{,}9 \times 0{,}85 \times 0{,}8 \times 0{,}95 = 0{,}5814\)
b) Ít nhất 1 hỏng: \(P = 1 - 0{,}5814 = 0{,}4186\)
c) Đúng 1 hỏng = Σ P(chỉ thiết bị i hỏng):
\(= 0{,}1 \times 0{,}85 \times 0{,}8 \times 0{,}95\) (TB₁ hỏng)
\(+ 0{,}9 \times 0{,}15 \times 0{,}8 \times 0{,}95\) (TB₂ hỏng)
\(+ 0{,}9 \times 0{,}85 \times 0{,}2 \times 0{,}95\) (TB₃ hỏng)
\(+ 0{,}9 \times 0{,}85 \times 0{,}8 \times 0{,}05\) (TB₄ hỏng)
\(= 0{,}0646 + 0{,}1026 + 0{,}1454 + 0{,}0306 = 0{,}3432\)
→ Đáp số: a) 0,5814 b) 0,4186 c) ≈ 0,3432
b) Ít nhất 1 hỏng: \(P = 1 - 0{,}5814 = 0{,}4186\)
c) Đúng 1 hỏng = Σ P(chỉ thiết bị i hỏng):
\(= 0{,}1 \times 0{,}85 \times 0{,}8 \times 0{,}95\) (TB₁ hỏng)
\(+ 0{,}9 \times 0{,}15 \times 0{,}8 \times 0{,}95\) (TB₂ hỏng)
\(+ 0{,}9 \times 0{,}85 \times 0{,}2 \times 0{,}95\) (TB₃ hỏng)
\(+ 0{,}9 \times 0{,}85 \times 0{,}8 \times 0{,}05\) (TB₄ hỏng)
\(= 0{,}0646 + 0{,}1026 + 0{,}1454 + 0{,}0306 = 0{,}3432\)
→ Đáp số: a) 0,5814 b) 0,4186 c) ≈ 0,3432
BÀI 9
VẬN DỤNG CAO
Hai đội bóng A và B thi đấu theo thể thức "thắng 2 trước" (đội nào thắng trước 2 trận thì thắng chung cuộc). Xác suất đội A thắng trong mỗi trận là 0,6 (các trận đấu độc lập). Tính xác suất đội A thắng chung cuộc.
TH1: A thắng 2-0 (thắng trận 1 VÀ trận 2):
\(P_1 = 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36\)
TH2: A thắng 2-1 (thua 1 trong 2 trận đầu, thắng trận 3):
• Thua T1, thắng T2, thắng T3: \(P_{2a} = 0{,}4 \times 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}144\)
• Thắng T1, thua T2, thắng T3: \(P_{2b} = 0{,}6 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}144\)
Ba TH xung khắc:
\(P = 0{,}36 + 0{,}144 + 0{,}144 = 0{,}648\)
→ Đáp số: P(A thắng chung cuộc) = 0,648
\(P_1 = 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36\)
TH2: A thắng 2-1 (thua 1 trong 2 trận đầu, thắng trận 3):
• Thua T1, thắng T2, thắng T3: \(P_{2a} = 0{,}4 \times 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}144\)
• Thắng T1, thua T2, thắng T3: \(P_{2b} = 0{,}6 \times 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}144\)
Ba TH xung khắc:
\(P = 0{,}36 + 0{,}144 + 0{,}144 = 0{,}648\)
→ Đáp số: P(A thắng chung cuộc) = 0,648
💡 PHẦN 3
MẸO LÀM BÀI THI
MẸO THI
QUAN TRỌNG
🎯 Nhận dạng nhanh & Chiến thuật làm bài
🎯 Nhận dạng nhanh
- Thấy "hoặc" → biến cố hợp (∪)
- Thấy "và", "đồng thời" → biến cố giao (∩)
- Thấy "ít nhất" → dùng biến cố đối
⚠️ Bẫy hay gặp
- P(A∪B) = P(A)+P(B) chỉ khi xung khắc
- P(A∩B) = P(A)·P(B) chỉ khi độc lập
- "Có hoàn lại" → độc lập
- "Không hoàn lại" → KHÔNG độc lập!
💡 Chiến thuật "ít nhất"
- P(ít nhất 1) = 1 − P(không có cái nào)
- Đây là cách nhanh nhất, ít sai nhất!
- Luôn nghĩ ngay đến biến cố đối
🏆 Phân biệt xung khắc vs độc lập
- Xung khắc: không cùng xảy ra (A∩B = ∅)
- Độc lập: không ảnh hưởng lẫn nhau
- Hai khái niệm KHÁC NHAU hoàn toàn!
1 / 17